Разбиение целых чисел на подмножества: задача Конягина, теория множест

Ответ:нельзя. Доказательство проведём от противного. Предположим, что указанное в условии разбиение существует. Будем писатьmk, если целые числаmиkпринадлежат одному и тому же подмножеству разбиения, иmk, если нет. Докажем, что

n n + 1937    и    n n − 150

для любого целогоn; отсюда будет следовать, что

0 1937 2 ^. 1937 ... 50 ^. 1937 = 646 ^. 150 − 50 645 ^. 150 − 50 ... − 50,

т. е. 0− 50, а это противоречит условию задачи. Назовем тройку чиселпредставительной, если она содержит по одному числу от каждого подмножества разбиения. По условию тройки

n − 50,  n,  n + 1987;    n − 100,  n − 50,  n + 1937    и    n + 1937,  n + 1987,  n + 2 ^. 1987

— представительные при любом n (1937 = 1987 − 50). В частности, из второй и третьей тройки видно, чтоn+ 1937n− 50 иn + 1937  n + 1987, а из первой — чтоnn- 50 иnn+ 1987. Отсюда следует наше первое утверждение:nn+ 1937. Теперь числоn + 1937 во второй тройке можно заменить наn, т. е. тройкаn− 100,n− 50,n — представительная. Подставляя в неёn− 50 вместоn, получим ещё одну представительную тройкуn− 150,n− 100,n− 50. Из сравнения этих двух троек вытекает второе утверждение:nn− 150.