Непериодическая десятичная дробь из последовательности Карагуляна

  Допустим, что у нас получилась периодическая последовательность цифр и что длина периода (количество цифр в нем) равна T. Легко видеть, что число a_n+1 может быть "длиннее" числа a_n не более чем на один разряд (и, разумеется, не короче). Поскольку последовательность (a_n) – возрастающая, в ней есть числа любой длины, большей длины a₁. Поэтому в ней найдётся число a_m, длина которого kT кратна периоду. Первые kT цифр числа a_m+1 должны совпадать с цифрами числа a_m, поэтому у a_m+1 есть ещё один разряд  (a_m+1 > a_m),  и в нём обязательно стоит нуль  (10a_m ≥ a_m+1).  Таким образом, первая цифра в записи a_m – нуль, что невозможно.