Биссектрисы трёхгранного угла — олимпиадная задача от Готмана

Самое простое решение этой задачи основано на понятии скалярного произведения векторов. Напомним, что скалярным произведением векторовaиbназывается число

ab = |a| |b| cosφ

где |a| и |b| — длины векторовaиb, φ — угол между ними. Таким образом, угол междуaиbострый, прямой или тупой, если соответственноab> 0,ab= 0 иab< 0. Конечно, для любых векторовab=ba. Нам потребуется ещё дистрибутивность (распределительное свойство) скалярного произведения: для любых трёх векторовa,bиc

(a + b) c = ac + bc

(это свойство подробно обсуждалось в "Кванте", 1972, номер 6). Пусть дан трёхгранный угол. Направим по его рёбрам векторы единичной длиныa,bиc. Тогда векторыa+b,b+c,c+aидут по биссектрисам плоских углов. Скалярные произведения

1 + ab + bc + ca

одинаковы — таким образом, углы между биссектрисами будут одновременно острыми, прямыми или тупыми.