Максимальная окружность в кубе — сложная задача по стереометрии

Пустьa— длина ребра куба. Сечение куба плоскостью, проходящей через его центр ортогонально одной из диагоналей, является правильным шестиугольником. Радиус вписанной окружности этого шестиугольника равен${\frac{a\sqrt{6}}{4}}$, поэтому в куб можно поместить окружность радиуса${\frac{a\sqrt{6}}{4}}$. Покажем, что окружность большего радиуса в куб поместить нельзя. Прежде всего заметим, что достаточно ограничиться рассмотрением окружностей с центром в центре куба. Действительно, если окружность радиусаRсодержится в кубе, то окружность, симметричная ей относительно центра куба, тоже содержится в кубе. Но тогда из выпуклости куба следует, что окружность радиусаR, центр которой совпадает с центром куба, а сама она расположена в плоскости, параллельной плоскости исходной окружности, тоже содержится в кубе.

Рассмотрим окружность радиусаRс центром в центре куба и шар того же радиуса и с тем же центром. Нас интересует лишь случай, когдаR>a/2 и рассматриваемая окружность лежит внутри куба. В этом случае вне куба находятся шесть шаровых сегментов. Радиусы окружностей, лежащих в их основаниях, равныr=$\sqrt{R^2-(a/2)^2}$, поэтомуrвозрастает при возрастанииR. Рассмотрим конусы, вершины которых находятся в центре куба, а основаниями служат окружности оснований шаровых сегментов. Если плоскость$\Pi$, содержащая рассматриваемую окружность, пересекает один из этих конусов, то часть окружности проходит по шаровому сегменту, а потому частично лежит вне куба. Таким образом, нужно доказать, что еслиR>${\frac{a\sqrt{6}}{4}}$, то плоскость$\Pi$пересекает один из конусов. Плоскость$\Pi$разбивает лучи, выходящие из центра куба и направленные в середины граней, на две тройки (каждая тройка лежит по одну сторону от плоскости$\Pi$). Рассмотрим плоскость$\Pi{^\prime}$, которая проходит через центр куба перпендикулярно одной из диагоналей и разбивает эти лучи на те же самые две тройки. В плоскости$\Pi{^\prime}$есть окружность радиуса${\frac{a\sqrt{6}}{4}}$, целиком лежащая внутри куба. Легко проверить, что плоскость$\Pi{^\prime}$касается трёх конусов (соответствующих тройке лучей, которые являются осями этих конусов) по трём лучамOX,OY,OZ. ЛучиOX,OY,OZлежат строго внутри конусов, соответствующих окружности радиусаR>${\frac{a\sqrt{6}}{4}}$. Значит, эти лучи лежат по одну сторону от плоскости$\Pi$, поскольку оси соответствующих конусов лежат по одну сторону от этой плоскости. Плоскости$\Pi$и$\Pi{^\prime}$имеют общую точку (центр куба), поэтому они пересекаются по некоторой прямой. ЛучиOX,OYиOZобразуют друг с другом углы в120^o, поэтому никакая прямая не может разделить плоскость$\Pi{^\prime}$так, чтобы эти лучи лежали в одной полуплоскости. Таким образом, плоскость$\Pi{^\prime}$пересекает один из конусов, еслиR>${\frac{a\sqrt{6}}{4}}$.