Квадратный корень из числа из ста единиц — задача олимпиады Егорова

Приведем решение, позволяющее вычислить этот корень с точностью301знак после запятой.

Преобразуем данное число следующим образом:

100= .

Тогда

Уточним эту оценку: найдем такое положительное число a , чтобы выполнялось неравенство

Для этого возведем обе части неравенства(eq:254.2) в квадрат:

упрощая, получим

0<(0,25-2a)+a · 10^-100+a² · 10^-200.

Чтобы выполнялось неравенство(eq:254.2), достаточно взять a=0,125+10^-102. Действительно, при этом значении a выражение0,25-2a+a· 10^-100положительно.

Таким образом, приходим к оценке:

Чтобы оценить число снизу, выберем число b так, чтобы выполнялось неравенство

>1-0,5 · 10^-100-b · 10^-200,

эквивалентное Чтобы выполнялось неравенство(eq:254.4), достаточно положить b=0,125+10^-101.

Получаем такую оценку:

Из оценок(eq:254.3) и(eq:254.5) следует, что

0,10049987498<< 0,10049987499.

Отсюда получаем

100=0,100100 ; 98...,

причем все301знак после запятой верны.

Аналогичное решение этой задачи прислал наш читатель С.Доморяд.