Векторные суммы на гранях выпуклого многогранника — задача Васильева

Убедительное и короткое доказательство можно получить из физических соображений. Представим себе, что замкнутый сосуд, внутренняя полость которого имеет форму нашего многогранника, заполнен газом под давлением P и помещен в пустоту (внешние силы– вес и т.п. отсутствуют). Тогда сила давления газа на грань площади S равна PS и направлена перпендикулярно к этой грани во внешнюю сторону (как коротко говорят, "по внешней нормали" к грани). Конечно, можно принять P равным1; тогда силы, действующие на грани, будут равны тем векторам, о которых идет речь в условии задами. Так как сосуд не может двигаться с ускорением под действием лишь внутренних сил, то векторная сумма этих сил, т.е. сумма наших векторов, равна нулю.

Приведем и чисто математическое доказательство. (Мы не будем здесь подробно обсуждать интересный вопрос о том, в какой мере проведенное выше рассуждение можно считать "строгим доказательством". Заметим, что все используемые в нем физические понятия и законы можно было бы ввести в рамках строгой математической "дедуктивной" теории: понятия получили бы точные определения, законы – строгие доказательства, а данные опыта рассматривались бы как подтверждение полезности определений и теорем; но в школьном – да и не только в школьном – курсе физики такой подход не очень популярен. К тому же, чтобы осуществить такую "формализацию" курса физики, школьного курса математики было бы явно недостаточно. Для решения же нашей задачи вполне хватит и школьной математики.)

Нам понадобится такая лемма (ее доказательство мы даем в конце решения): если многоугольник имеет площадь S и его плоскость образует с некоторой плоскостью π угол α (0 < α < 90^o), то площадь проекции этого многоугольника на плоскость π равна S cos α .

Возьмем произвольную ось (направленную прямую) l и перпендикулярную ей плоскость π . Спроектируем все грани нашего многогранника на плоскость π, а соответствующие им векторы– на ось l . Если площадь одной из граней равна S , а угол, образуемый ее "внешней нормалью" с осью l , равен α , то проекция вектора на ось l равна (с учетом знака) S cos α , а площадь проекции грани на плоскость π равна |S cos α| . Мы пишем знак модуля, потому что угол α может быть не только острым (рис. a; грани, для которых cos α ≥ 0, мы называем верхними), но и тупым (рис.б; грани, для которых cos α <0, мы называем нижними).

Рассмотрим теперь многоугольник, в который проектируется наш многогранник (на плоскость π). Этот многоугольник, как видно из рис. а и б, можно составить из проекций всех верхних граней, а можно – из проекций всех нижних граней. (Здесь мы пользуемся тем, что многогранник – выпуклый, поэтому на каждой прямой, параллельной l и пересекающей многогранник, найдется одна точка, принадлежащая верхним граням, и одна – нижним). Поэтому, если отделить среди чисел S cos α положительные и отрицательные, то сумма тех и других по модулю будет одинаковой. Следовательно, сумма всех чисел S cos α , соответствующих разным граням, равна 0.

Итак, сумма проекций наших векторов на ось l , или, что то же самое (См. "Квант" #6, 1972г.), проекция их суммы на ось l равна 0. Но ось l выбрана произвольно, следовательно, сумма векторов равна0.

Доказательство леммы.Если α=0или α=90^o , то это ясно. В остальных случаях многоугольник можно разрезать на трапеции и треугольники, основания которых параллельны плоскости π (для этого достаточно провести плоскости, параллельные π , через все вершины многоугольника). Для этих трапеций и треугольников утверждение леммы очевидно, поскольку при проектировании их основания не изменяются, а высоты умножаются на cos α .

Заметим в заключение, что утверждение задачи верно и для невыпуклых многогранников.