Похожие на прямую множества: олимпиадная геометрическая задача

Приведём контрпример. Возьмём в качестве $\ell$ ось абсцисс, а в качестве множества $A$ – график функции $g(x) = \sqrt{|x|}$. Докажем, что отображение $(x,,0)\to (x,,g(x))$ удовлетворяет условию. Достаточно проверить, что для произвольных $y > x$ выполнены неравенства \begin{align} &\sqrt{(y-x)^2 + (\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|})^2} \leqslant (y-x) + 1, \tag{1} \ &y-x \leqslant \sqrt{(y-x)^2 + (\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|})^2} + 1. \tag{2} \end{align} Неравенство $(2)$ верно, так как $$y-x \leqslant \sqrt{(y-x)^2 + (\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|})^2} .$$ Обоснуем неравенство $(1)$. Возводя его в квадрат и сокращая слагаемое $(y-x)^2$, получаем, что достаточно доказать неравенство $$(\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|})^2 \leqslant 2(y-x) + 1.$$

1. Если $y > x \geqslant 0$, то $$\begin{aligned} (\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|})^2\leqslant 2(\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|})&(\sqrt{|y|}+\sqrt{|x|}) = \ &= 2(y-x) < 2(y-x)+1. \end{aligned}$$

2. Если $y \geqslant 0 > x$, то $$\begin{aligned} (\sqrt{|y|}-\sqrt{|x|})^2 = (\sqrt{y}-\sqrt{-x})^2 &= y-x-2\sqrt{y}\sqrt{-x} \leqslant \ &\leqslant y-x < 2(y-x)+1. \end{aligned}$$

3. Если $0 \geqslant y > x$, то заметим, что при замене $y$ на $-x$ и $x$ на $-y$ левая и правая части доказываемого неравенства не меняются, и справедливо рассуждение пункта $1$. Таким образом, неравенства $(1)$ и $(2)$ верны для произвольных $y > x$. Остаётся показать, что график функции $g(x)$ не лежит между никакими двумя параллельными прямыми. Предположим противное: график функции $g(x)$ лежит между параллельными прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$. Прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ не могут быть вертикальными, поскольку на графике $g(x)$ есть точки со сколь угодно большими абсциссами. Предположим теперь, что прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ задаются уравнениями $y = kx + b_1$, $y = kx + b_2$, причём $b_1 < b_2$. Поскольку точка $(0, g(0))$ находится между данными прямыми и $g(0)=0$, получаем $b_1 < 0 < b_2$. Заметим, что на графике $g(x)$ есть точки со сколь угодно большими ординатами и при положительных $x$, и при отрицательных. Следовательно, при любом $k$ на этом графике есть пара точек (с положительной и отрицательной абсциссами), ординаты которых больше $b_2$ и хотя бы одна из которых находится выше прямой $\ell_2$, а значит, не лежит между рассматриваемыми прямыми. Противоречие.