Олимпиадная задача о 13 гирях и двух весах: как Вася найдет фальшивую?

  Будем всегда класть на чаши весов поровну гирь. Заметим, что тогда заведомо нефальшива гиря, оказавшаяся на лёгкой чаше, а в случае равенства – на любой из чаш. Обозначим весы $X$ и $Y$. Первым взвешиванием положим на чаши весов $X$ по $4$ гири.   1) Весы в равновесии. Тогда фальшива одна из 5 невзвешенных гирь. Вторым взвешиванием положим по 2 подозрительные гири на чаши весов $X$. При равновесии фальшива невзвешенная гиря $A$.   В противном случае фальшива либо гиря $A$ (если весы $X$ неправильные), либо одна из гирь $B, C$ на «тяжёлой» чаше. Третьим взвешиванием сравним $B$ c $C$ на весах $Y$. При равновесии фальшива гиря $A$. В противном случае фальшива более тяжелая гиря (если бы фальшива была $A$, весы $Y$ показали бы равновесие).   2) Одна из чаш опустилась. Тогда фальшива либо одна из 4 гирь на «тяжёлой» чаше, либо одна из 5 невзвешенных гирь. Вторым взвешиванием положим на чаши весов $Y$ по $2$ «тяжёлые» гири и по одной из невзвешенных – $A$ и $B$. При равновесии фальшива одна из 3 ещё не взвешенных гирь, причём весы $Y$ правильные (раз они показали равенство, все гири на них настоящие – в том числе, четыре гири, «тяжёлые» по мнению весов $X$, то есть весы $X$ соврали). С их помощью найдём за одно взвешивание одну фальшивую гирю из $3$ подозрительных.   Если одна из чаш (пусть с гирей $A$) опустилась, то фальшива одна из гирь на этой чаше (если бы фальшивая гиря была среди $3$ невзвешенных, то как весы $X$, так и весы $Y$ были бы неправильны, что не так). Более того, $A$ фальшива только если весы $Y$ правильные. Третьим взвешиванием сравним на весах $Y$ две отличные от $A$ гири с её чаши. При равновесии фальшива $A$, в противном случае – более тяжёлая гиря.