Определить вес монет Пети за два взвешивания — олимпиадная задача

Проведём линию через центр круга (см. рис.).Монеты ниже линии все разные, сумма их масс 45. Чёрные монеты ниже линии — либо 1, 4 и 7 (первый случай), либо 2, 5, 8 (второй случай), либо 3, 6, 9 (третий случай). Чёрные монеты выше линии – такие же, как и ниже. Положим серые монеты на одну чашу весов, чёрные на другую, и сравним их массы:

СлучаиСумма чёрныхСумма серыхВесы покажутПервый$2 \cdot (1 + 4 + 7) = 24$$45 - 1 - 4 - 7 = 33$Перевес серыхВторой$2 \cdot (2 + 5 + 8) = 30$$45 - 2 - 5 - 8 = 30$РавновесиеТретий$2 \cdot (3 + 6 + 9) = 36$$45 - 3 - 6 - 9 = 27$Перевес чёрных Итак, теперь мы знаем веса чёрных монет (но не умеем пока их различать). Более того, мы точно знаем, где лежат монеты в 3, 6 и 9 г — либо это чёрные монеты, либо их соседи справа, либо их соседи слева — зависит от того, какой случай получился в первом взвешивании. Посмотрим на эти шесть монет (пусть они, например, чёрные).

Сравним $A+C$ и $B+D$. Возможны три случая:

Случаи$A+C$$B+D$Весы покажут$A=3$$3+9$$6+6$Равновесие$A=6$$6+3$$9+9$$A+C < B+D$$A=9$$9+6$$3+3$$A+C > B+D$ Теперь мы знаем вес монеты $A$, а тогда и всех остальных тоже.