Олимпиадная задача по стереометрии о параллельных плоскостях в пирамид

Решение 1:Пусть $A'B'=tAB$. Тогда $B'C'=tBC$, $C'A'=tAC$. Так как углы при вершине $S$ прямые, то $SA'^2+SB'^2=t^2AB^2$, $SA'^2+SC'^2=t^2AC^2$, $SB'^2+SC'^2=t^2BC^2$. Из этих равенств получаем, что $SA'^2=t^2(AB^2+AC^2-BC^2)/2=t^2SA^2$, т.е. $SA'=tSA$. Аналогично $SB'=tSB$, $SC'=tSC$ и, следовательно, плоскости $ABC$ и $A'B'C'$ параллельны.

Решение 2:Предположим, что плоскости $ABC$ и $A'B'C'$ не параллельны. Тогда сделаем гомотетию с центром $S$, переводящую треугольник $A'B'C'$ в треугольник, равный $ABC$, а затем движение, переводящее полученный треугольник в $ABC$. Тогда точка $S$ перейдет в точку $S'$, отличную от $S$ и точки, симметричной $S$ относительно плоскости $ABC$. С другой стороны, обе точки $S$, $S'$ лежат на трех сферах с диаметрами $AB$, $BC$, $CA$. Поскольку центры этих сфер не лежат на одной прямой, у них есть лишь две точки пересечения, симметричные относительно плоскости $ABC$ – противоречие.