Окружность через точки в тетраэдре $ABCD$

Пусть $S$ – описанная сфера тетраэдра $ABCD$, а $\omega$ – описанная окружность треугольника $PA_1B_1$. Тогда плоскость $BCD$ – радикальная плоскость $S$ и описанной сферы тетраэдра $PBCD$. Так как $A_0$ лежит в плоскости $BCD$, то степень точки $A_0$ относительно $S$ равна ее степени относительно сферы $PBCD$, т.е. $A_0P\cdot A_0A_1$. Этому произведению равна также степень $A_0$ относительно описанной около треугольника $PA_1B_1$ окружности $\omega$. Таким образом, $A_0$ лежит на радикальной оси сферы $S$ и окружности $\omega$. Аналогично $B_0$ лежит на радикальной оси $S$ и $\omega$. Следовательно, эта радикальная ось совпадает с прямой $\ell$. Так как точка $C_0$ лежит в плоскости $DAB$, являющейся радикальной плоскостью $S$ и описанной сферы тетраэдра $PDAB$, степени $C_0$ относительно этих сфер равны. Значит, прямая $PC_0$ – радикальная ось окружности $\omega$ и сферы $PDAB$, но $PC_0$ пересекает эту сферу в точке $C_1$, следовательно, $C_1$ лежит на окружности $\omega$. Аналогично $D_1$ лежит на $\omega$. Таким образом, $P$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ лежат на одной окружности