Олимпиадная задача по математике: количество различных цифр в $n, 2n,

  Пример. При  $n$ = 34  получаем первые цифры 3, 6, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3; при  $n$ = 25  – цифры 2, 5, 7, 1, 1, 1, 1, 2, 2.   Оценка. Поделим $n$ на такую степень десятки, чтобы для полученного числа $m$ (не обязательно целого) выполнялись неравенства  1 ≤ $m$ < 10,  и решим задачу для числа $m$ (первые цифры не изменятся). Среди чисел $km$ есть несколько чисел, меньших 10, и несколько тех, что не меньше 10. Назовем местом перескока то наименьшее $k$, для которого $km$ ≥ 10.  Из неравенств  1 ≤ $m$ < 10  следует, что все первые цифры до перескока разные, тогда как первые цифры после перескока могут совпадать, но все они идут подряд: 1, 2, 3 и т.д. Разберем все варианты.

  Если  1 ≤ $m$ < 2,5,  имеется по меньшей мере 4 числа до перескока, и все они имеют разные первые цифры.

  Если  2,5 ≤ $m < \frac{10}{3}$,  имеется, как минимум, три разные цифры до перескока (причем они не меньше 2), а также цифра 1 (после перескока).

  Если  $\frac{10}{3}$ ≤ $m$ < 4,  имеется не менее двух цифр до перескока (причем они больше 2), а также цифры 1 и 2 после перескока.

  Наконец, если  $m$ ≥ 4,  имеются, во всяком случае цифры 1, 2, 3 после перескока и ещё одна цифра (не меньше 4) до перескока.