Олимпиадная задача по стереометрии о встречах Нового года
Обсуждая в классе зимние каникулы, Саша сказал: "Теперь, после того как я слетал в Аддис-Абебу, я встречал Новый год во всех возможных полусферах Земли, кроме одной!"
В каком минимальном количестве мест встречал Новый год Саша?
Места, где Саша встречал Новый год, считайте точками на сфере. Точки на границе полусферы не считаются принадлежащими этой полусфере.
Показать ответ
В четырёх местах.
Разобрать решение
Оценка. Предположим, что хватило трёх точек. Они определяют плоскость. Если она проходит через центр сферы, то Саша не бывал в двух полусферах, высекаемых этой плоскостью. Противоречие.
Если не проходит, то параллельной плоскостью отсечём полусферу, в которой Саша не бывал. Во всех полусферах, получаемых из неё малым шевелением, Саша тоже не бывал. Снова противоречие. Пример. Возьмём на некоторой большой окружности три точки, образующие остроугольный треугольник, и любую точку вне её (это можно сделать так, что одной из точек будет город, в котором живёт Саша, а другой – Аддис-Абеба). Из двух полусфер, высекаемых этой окружностью, Саша не бывал ровно в одной. Если же провести через центр Земли другую плоскость, то она высечет диаметр в исходной окружности, по каждую сторону от которого будет точка, в которой Саша бывал.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.