Олимпиадная задача: симметрия чисел в квадрате 10×10

  Покрасим все числа в красный цвет. На каждом ходу будем поворачивать некий красный прямоугольник, после чего перекрашивать одно число в зелёный цвет. Таким образом, зелёные числа больше не будут перемещаться. Будем поддерживать свойства:

  1) каждое зелёное число меньше всех красных;

  2) в каждой строке слева направо и в каждом столбце снизу вверх сначала идут зелёные числа по возрастанию, а потом – красные числа в произвольном порядке.   После 99 таких ходов останется только одно красное число в правом верхнем углу, и требуемое в задаче будет достигнуто.

  Изначально свойства выполнены. Пусть перед очередным ходом свойства выполняются и наименьшее из красных чисел – $x$ – стоит в клетке $A$. Будем двигаться вниз от клетки $A$ по красным числам, пока возможно, до клетки $B$. От клетки $B$ – аналогично влево до клетки $C$. Возьмём прямоугольник $ABCD$ (возможно, вырожденный). Он будет красным. Повернём его. Число $x$ окажется в клетке $C$. Числа слева и снизу от него, если есть, – зелёные, и они меньше $x$. Перекрасим $x$. Все свойства, очевидно, выполнены.