Задание олимпиады о положительных дробях и их знаменателях

Решение 1:Рассмотрим дроби  $\dfrac{1+q}{1},~ \dfrac{2+q}{2q}, ..., \dfrac{2018+q}{2018q},$  где  $q = 2018! + 1$. Они несократимы, так как  $(q, i) = 1$  при  $1 \leqslant i \leqslant 2018$.

Разность таких дробей равна  $\dfrac{i+q}{iq} - \dfrac{j+q}{jq} = \dfrac{j-i}{ij}$.  Её знаменатель меньше $q$, а в несократимом виде – тем более.

Решение 2:Выберем любые 2018 положительных несократимых дробей со знаменателями  $b_1 > b_2 > ... > b_{2018} > 0$.  Выберем ещё одну положительную несократимую дробь вида ¹/_d, знаменатель $d$ которой больше $b_1b_2$ и взаимно прост с $b_1b_2...b_{2018}$. Прибавим к каждой из 2018 дробей новую дробь. Полученные суммы искомые, так как их знаменатели в несократимом виде будут равны $db_i$, а у разностей – не больше $b_1b_2$.