Задание по олимпиадной математике: многогранник и его грани

Первое решение. Пусть $ABCD$ — нижний квадрат. Примем его сторону за 1 и найдем сторону верхнего квадрата. Проведем через вершины верхнего квадрата прямые, параллельные соответствующим сторонам нижнего, получим квадрат $A_1B_1C_1D_1$ (см. рис.).

Прямая $DD_1$ лежит в пересечении плоскостей пятиугольников со сторонами $AD$ и $CD$, поэтому их общая вершина $E$, отличная от $D$, лежит на отрезке $DD_1$. Пусть $M$ — вершина пятиугольника со стороной $AD$, противолежащая этой стороне. Тогда в силу симметрии $M$ — середина $A_1D_1$. Следовательно, $$AD=DE=EM=MD_1=1,$$ так как треугольник $MD_1E$ равнобедренный (поскольку $\angle MED_1=\angle MD_1E=72^\circ$). Таким образом, $A_1D_1=2$, а искомая сторона верхнего квадрата равна $\sqrt2$. Второе решение.Обозначим через $ADEMP$ и $CDENQ$ соседние пятиугольные грани с общим ребром $DE$ (см. рис.).

Пусть $R$ середина ребра $DE$. Точки $A$ и $M$ симметричны относительно прямой $PR$, перпендикулярной $ED$, а точки $C$ и $N$ симметричны относительно прямой $QR$, также перпендикулярной $ED$. Следовательно, треугольники $ADC$ и $MEN$ симметричны относительно плоскости $PQR$ и поэтому равны. Отсюда находим $$MN:AD=AC:AD=\sqrt2.$$ Комментарий. Задача была придумана в ходе игры с детьми в геометрический конструктор, одним из создателей которого является профессор механико-математического факультета МГУ И. Х. Сабитов.