Побеждает ли Петя в игре с кучками камней?
Имеется три кучки по 40 камней. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход надо объединить две кучки, после чего разделить эти камни на четыре кучки. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто из играющих (Петя или Вася) может выиграть, как бы ни играл соперник?
Показать ответ
Вася. Комментарий. На самом деле это игра-шутка: Вася выигрывает вне зависимости от действий игроков.
Разобрать решение
За ход две кучи заменяются на четыре, т.е. число куч увеличивается на 2. А сколько будет куч, когда игра закончится? В начале число куч было нечётным, поэтому, увеличиваясь на два, оно всё время будет оставаться нечётным. Если очередной ход сделать нельзя, то в двух самых больших кучках в сумме не более 3 камней. Тогда во всех остальных кучках по 1 камню и их не менее 120 – 3 = 117 штук. То есть всего должно быть (хотя бы) 119 куч. Но чтобы получить 119 куч, надо сделать (119 − 3) : 2 = 58 ходов. Это число чётно, значит, последний ход сделал Вася (и он выиграл).
Обсуждение
0Комментариев пока нет.