Задание по олимпиадной математике: Положительные числа в круге

  Оценка. Предположим, что два неотрицательных числа стоят рядом. Тогда число, стоящее перед ними, больше их суммы, то есть положительно. Аналогично, число перед ним также положительно, и т. д. В итоге получаем, что все числа неотрицательны; но тогда наименьшее из них не может быть больше суммы двух следующих – противоречие. Итак, среди каждых двух чисел, стоящих рядом, есть хотя бы одно отрицательное. Значит, положительных чисел не более 50.

  Пусть их ровно 50, тогда они чередуются с отрицательными. Рассмотрим три числа – a, b, – c, стоящие подряд (здесь  a, b, c > 0).  Тогда

– a > b > – c > – c,  то есть каждое отрицательное число строго больше следующего за ним отрицательного числа. Поскольку числа стоят по кругу, это невозможно. Стало быть, положительных чисел не более 49.

  Пример, в котором ровно 49 положительных чисел: – 200, 1, – 202, 1, – 204, 1, – 206, 1, ..., – 296, 1, – 298, – 99.