Задание по олимпиадной математике: Логарифмы и сумма чисел
Сумма нескольких не обязательно различных положительных чисел не превосходила 100. Каждое из них заменили на новое следующим образом: сначала прологарифмировали по основанию 10, затем округлили стандартным образом до ближайшего целого числа и, наконец, возвели 10 в найденную целую степень. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел превышает 300?
Показать ответ
Могло.
Разобрать решение
Пусть исходные числа равны 32, 32, 32 и 4. Тогда их сумма равна 100. Поскольку 32² > 10³, то lg32 > lg103/2 = 1,5. С другой стороны,
lg32 < lg100 = 2. Следовательно, результат округления lg32 равен 2, значит, соответствующее новое число есть 10² = 100.
Поскольку 4² > 10, то lg4 > lg101/2 = 0,5, а так как lg4 < lg10 = 1, результат округления lg4 равен 1, значит, соответствующее новое число есть
101 = 10.
Таким образом, сумма новых чисел равна 310 > 300.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.