Задание по олимпиадной математике: свойства целых чисел

  Если взять числа –1, 0, 1, 2, то, как легко проверить, каждое из записанных на доске чисел будет равно –2, –1, 0, 1, 2 или 3 – всего 6 различных значений.

  Покажем, что меньше шести различных чисел на доске оказаться не могло. Пусть взяты числа  a < b < c < d.  Тогда выполнены неравенства

a + b < a + c < a + d < b + d < c + d,  что даёт пять различных чисел. Осталось доказать, что на доске есть число, отличное от этих пяти.   Первый способ. Мы покажем, что на доске найдётся либо число, большее  c + d,  либо число, меньшее  a+ b.  Если  a ≥ 0,  то  b ≥ 1,  c ≥ 2,  d ≥ 3,  поэтому  cd ≥ 2d > c + d.  Если  a < 0,  а  d ≥ 2,  то  ad ≤ 2a < a + b.  В оставшемся случае имеем  a < 0  и  d ≤ 1.  Но тогда  c ≤ 0,  b ≤ –1,  a ≤ –2,  откуда  ab ≥ 2 > c + d.   Второй способ. Пусть u и v – два наибольших по модулю из чисел a, b, c, d, причём  |u| ≤ |v|.  Если  |u| ≥ 2,  то  |uv| ≥ 2|v|,  а это больше, чем любая сумма. Если же  |u| ≤ 1,  то среди исходных чисел должны быть –1, 0, 1. При  v > 0  на доске выписано по крайней мере 6 различных чисел: –1, 0, 1, v, – v,  v + 1.

  Случай  v < 0  разбирается аналогично.