Игра Петя и Вася: победитель на доске 7x7

  Назовём расстановку чисел в клетках данной доски "антисимметричной", если клетки, симметричные относительно центральной клетки доски, либо обе пустые, либо в них стоят числа, сумма которых равна 8.

  Петя должен играть так: первым ходом поставить число 4 в центральную клетку, а затем, после каждого хода Васи осуществлять "антисимметричную" расстановку чисел. То есть, если Вася поставил в какую-то клетку число n, то Петя должен поставить в симметричную клетку число  8 – n.

  Играя так, Петя выиграет. Действительно, клетка, симметричная только что занятой, перед каждым ходом Пети будет пустой. Докажем, что он сможет поставить в эту клетку указанное число.

  Предположим, что это не так, то есть Вася поставил в какую-то клетку A число n, а в одной из клеток B линии (строки или столбца), содержащей симметричную клетку A', уже стоит число  8 – n.  Заметим, что B не совпадает с A. Действительно, если эти клетки совпадут, то  8 – n = n,  то есть  n = 4.  С другой стороны, симметричные клетки  A = B  и A' лежат на одной линии  A'B = A'A.  На этой же линии лежит и центральная клетка доски O, следовательно, Вася не имел права поставить 4 в A.

  Из "антисимметричности" следует, что в симметричной B клетке B'  уже стоит n. Поскольку клетки A и B'  лежат на линии, симметричной A'B, Вася не имел права поставить n в A. Противоречие.   (Поясним эти рассуждения на конкретом примере – см. рис. Кружком обведён очередной ход Васи; он поставил число 1. Петя хочет поставить 7 в клетку, отмеченную точкой. Предположим, он не может этого сделать из-за того, что в закрашенной клетке уже стоит 7. Тогда в клетке, отмеченной крестиком, уже стоит 1, то есть Вася не мог сделать предыдущий ход.)