Окружность девяти точек в треугольнике — олимпиадная задача по геометр

Пусть A₁, B₁, C₁ — середины сторон BC, AC, AB треугольника ABC; A₂, B₂, C₂ — основания высот. Поскольку треугольник CB₂B — прямоугольный, то

Кроме того,A₁C₁||B₁B₂. ПоэтомуA₁C₁B₁B₂— равнобедренная трапеция. Следовательно, точкиA₁,C₁,B₁иB₂лежат на одной окружности. Аналогично докажем, что точки A₂ И C₂ лежат на описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

Кроме того, эта окружность содержит еще середины отрезков, соединяющих вершины треугольника ABC с точкой пересечения его высот (окружность девяти точек), касается вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха); её центр является серединой отрезка, соединяющего центр описанной окружности и точку пересечения высот.

Ответ задачи отсутствует