Задача по олимпиадной математике о касательных и точке P в треугольник
Задача
Касательные к описанной вокруг треугольника ABC окружности, проведённые в точках A и B, пересекаются в точке P.
Докажите, что прямая PC пересекает сторону AB в точке K, делящей её в отношении AC² : BC².
Решение
Пусть прямая CP пересекает окружность в точке F, отличной от точки C. Из подобия треугольников PAC и PFA следует, что AC : AF = AP : PF; из подобия треугольников PBC и PFB – BC : BF = BP : PF. Разделив первое равенство на второе и заметив, что AP = BP, получим, что AC : BC = AF : BF.
С другой стороны, из подобия треугольников AKF и CKB следует, что AF : BC = AK : KC, а из подобия треугольников AKC и FKB – BF : AC = BK : KC. Разделив почленно эти равенства, получим, что AK/BK = AF/BF·AC/BC = AC²/BC².
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь