Назад

Три равные окружности и сумма дуг — олимпиадная задача по геометрии

Задача 155528 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Нет ответа
Задача

На плоскости даны три окружности одинакового радиуса. Докажите, что если они расположены так, как показано на рис.1, то сумма отмеченных дуг AB, CD и EF равна 180o.

Разделы:
Планиметрия
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
5
Решение

Поскольку $\cup$ ABD = $\cup$ AFD, $\cup$ CDF = $\cup$ CBF и $\cup$ BFE = $\cup$ BDE, то

$\displaystyle \cup$ AB + $\displaystyle \cup$ CD + $\displaystyle \cup$ EF =
= ( $\displaystyle \cup$ ABD - $\displaystyle \cup$ BD) + ( $\displaystyle \cup$ CDF - $\displaystyle \cup$ DF) + ( $\displaystyle \cup$ BFE - $\displaystyle \cup$ BF) =
= ( $\displaystyle \cup$ AFD - $\displaystyle \cup$ DF) + ( $\displaystyle \cup$ CBF - $\displaystyle \cup$ BF) + ( $\displaystyle \cup$ EDB - $\displaystyle \cup$ BD) =
= $\displaystyle \cup$ AF + $\displaystyle \cup$ BC + $\displaystyle \cup$ DE.
В треугольникеAECизвестно, что
$\displaystyle \angle$CAE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$( $\displaystyle \cup$ CD + $\displaystyle \cup$ DE), $\displaystyle \angle$ACE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$( $\displaystyle \cup$ AF + $\displaystyle \cup$ EF), $\displaystyle \angle$AEC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$( $\displaystyle \cup$ BC + $\displaystyle \cup$ AB).
Следовательно,
180o = $\displaystyle \angle$CAE + $\displaystyle \angle$ACE + $\displaystyle \angle$AEC =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$( $\displaystyle \cup$ CD + $\displaystyle \cup$ DE + $\displaystyle \cup$ AF + $\displaystyle \cup$ EF + $\displaystyle \cup$ BC + $\displaystyle \cup$ AB) =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(( $\displaystyle \cup$ AB + $\displaystyle \cup$ CD + $\displaystyle \cup$ EF) + ( $\displaystyle \cup$ AF + $\displaystyle \cup$ BC + $\displaystyle \cup$ DE)) =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 2( $\displaystyle \cup$ AB + $\displaystyle \cup$ CD + $\displaystyle \cup$ EF),
откуда следует, что
$\displaystyle \cup$ AB + $\displaystyle \cup$ CD + $\displaystyle \cup$ EF = 180o.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет