Олимпиадная задача: окружность через точку M между параллельными прямы
Задача
Даны две параллельные прямые на расстоянии, равном 15, одна от другой; между ними дана точка M на расстоянии, равном 3, от одной из них. Через точку M проведена окружность, касающаяся обеих прямых. Найдите расстояние между проекциями центра и точки M на одну из данных прямых.
Решение
Пусть A и B — проекции точки M и центра O окружности на одну из прямых, причём MA = 3. Тогда OB — радиус окружности и
OB = ${\frac{15}{2}}$.
Пусть P — проекция точки M на OB. В прямоугольном треугольнике MPO известно, что
MO = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$, OP = OB - PB = OB - MA = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$ - 3 = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{2}}$.
Следовательно,
AB2 = MP2 = MO2 - OP2 = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{15}{2}}\right.$$\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{15}{2}}\right)^{2}_{}$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{9}{2}}\right.$$\displaystyle {\textstyle\frac{9}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{9}{2}}\right)^{2}_{}$ = 36.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет