Олимпиадная задача Б. С. Пицкеля: прямоугольный треугольник и вписанна
Задача
Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом.
Решение
Пусть BC = a, AC = b — катеты прямоугольного треугольника ABC (AC > BC). Пусть касательная к вписанной окружности с центром O, параллельная катету BC, пересекает гипотенузу AB в точке M, а катет AC — в точке N. Тогда $\angle$MOB = 90o. Следовательно, M — середина AB. Поэтому
MN = $\displaystyle {\frac{a}{2}}$, CN = $\displaystyle {\frac{b}{2}}$, MB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \sqrt{a^{2} + b^{2}}$.
ПосколькуBCNM— описанная трапеция, то
BC + MN = CN + BM, или $\displaystyle {\frac{3a}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \sqrt{a^{2} + b^{2}}$.
Отсюда находим, что${\frac{a}{b}}$=${\frac{3}{4}}$.
Ответ
3:4:5.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет