Олимпиадная задача по геометрии о касательной AM и треугольнике AMK
Задача
Из точки A к окружности радиусом R проводится касательная AM (M — точка касания). Секущая, проходящая через точку A, пересекает окружность в точках K и L, причём L — середина отрезка AK, а угол AMK равен 60o. Найдите площадь треугольника AMK.
Решение
Пусть O — центр окружности. Тогда $\angle$MOK = 120o и
MK = R$\sqrt{3}$. Обозначим AM = x.
По теореме о касательной и секущей
AM2 = AK . AL = 2AL2.
ПоэтомуAL=${\frac{x}{\sqrt{2}}}$иAK=x$\sqrt{2}$.
По теореме косинусов из треугольника AMK находим, что
x2 + 3R2 - xR$\displaystyle \sqrt{3}$ = 2x2, или x2 + xR$\displaystyle \sqrt{3}$ - 3R2 = 0.
Следовательно,x=${\frac{R(\sqrt{15} - \sqrt{3})}{2}}$(единственный положительный
корень полученного уравнения),
S$\scriptstyle \Delta$AMK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AM . MK sin 60o = $\displaystyle {\frac{3R^{2}(\sqrt{15} - \sqrt{3})}{8}}$.
Ответ
${\frac{3R^{2}(\sqrt{15} - \sqrt{3})}{8}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет