Олимпиадная задача по планиметрии: трапеция ABCD и треугольник BOM
Задача
В окружность с центром O вписана трапеция ABCD, в которой
AD || BC, AD = 7, BC = 3, угол BCD равен 120o. Хорда BM окружности пересекает отрезок AD в точке N, причём ND = 2. Найдите площадь треугольника BOM.
Решение
Пусть P — проекция вершины C на основание AD трапеции ABCD. Поскольку трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. Поэтому
DP = $\displaystyle {\frac{AD - BC}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{2}}$ = 2.
Следовательно, точкаPсовпадает с точкойN, аCN— высота
трапеции. Тогда
CN = DNtg$\displaystyle \angle$CDA = 2tg60o = 2$\displaystyle \sqrt{3}$.
ПосколькуBN . NM=AN . ND, то
NM = $\displaystyle {\frac{AN\cdot ND}{BN}}$ = $\displaystyle {\frac{AN\cdot ND}{\sqrt{BC^{2}+ CN^{2}}}}$ = $\displaystyle {\frac{10}{\sqrt{21}}}$ = $\displaystyle {\frac{10\sqrt{21}}{21}}$,
BM = BN + NM = $\displaystyle \sqrt{21}$ + $\displaystyle {\frac{10\sqrt{21}}{21}}$ = $\displaystyle {\frac{31\sqrt{21}}{21}}$.
ПустьOB=OM=R. Тогда
R = $\displaystyle {\frac{AC}{2\sin \angle ADC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{AN^{2}+ CN^{2}}}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{25+12}}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}}$.
ПустьOH— высота треугольникаBOM. Тогда
OH = $\displaystyle \sqrt{OB^{2}- BH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{R^{2}- \frac{BM^{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{5}{2\sqrt{7}}}$.
Следовательно,
S$\scriptstyle \Delta$BOM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BM . OH = $\displaystyle {\frac{155\sqrt{3}}{84}}$.
Ответ
${\frac{155\sqrt{3}}{84}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет