Олимпиадная задача по планиметрии с точками M и N в треугольниках
Нет ответа
Задача
Пусть M и N — точки пересечения медиан треугольников ABC и PQR соответственно. Докажите, что
$\overrightarrow{MN}$ = ${\frac{1}{3}}$($\overrightarrow{AP}$ + $\overrightarrow{BQ}$ + $\overrightarrow{CR}$).
Решение
Пусть A1, B1, C1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC; P1, Q1, R1 — середины сторон соответственно QP, PR и RQ треугольника PQR. Сложив почленно равенства
$\displaystyle \overrightarrow{MN}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{AP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{PN}$, $\displaystyle \overrightarrow{MN}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{QN}$, $\displaystyle \overrightarrow{MN}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CR}$ + $\displaystyle \overrightarrow{RN}$,
получим, что
3$\displaystyle \overrightarrow{MN}$ = ($\displaystyle \overrightarrow{AP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CR}$) + ($\displaystyle \overrightarrow{MA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC}$) + ($\displaystyle \overrightarrow{PN}$ + $\displaystyle \overrightarrow{QN}$ + $\displaystyle \overrightarrow{RN}$) =
= $\displaystyle \overrightarrow{AP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CR}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$($\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC_{1}}$) + $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$($\displaystyle \overrightarrow{PP_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{QQ_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{RR_{1}}$) =
= $\displaystyle \overrightarrow{AP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CR}$ - $\displaystyle \overrightarrow{0}$ + $\displaystyle \overrightarrow{0}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CR}$.
Следовательно,
$\displaystyle \overrightarrow{MN}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$($\displaystyle \overrightarrow{AP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CR}$).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет