Назад

Олимпиадная задача: трапеция ABCD и площади треугольников

Задача 155333 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

В трапеции ABCD основание AD равно 16, сумма боковой стороны AB и диагонали BD равна 40, угол CBD равен 60o. Отношение площадей треугольников ABO и BOC, где O — точка пересечения диагоналей, равно 2. Найдите площадь трапеции.

Разделы:
Планиметрия
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
5
Решение

Обозначим AB = x. Тогда BD = 40 - x. По теореме косинусов

AB2 = AD2 + BD2 - 2AD . BD cos$\displaystyle \angle$ADB,
или
x2 = 162 + (40 - x)2 - 16(40 - x).
Из этого уравнения находим, чтоx= 19. ТогдаBD= 40 -x= 21. Поэтому
S$\scriptstyle \Delta$ADB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AD . DB sin 60o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 16 . 21 . $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 84$\displaystyle \sqrt{3}$.
Поскольку треугольникиAODиCOBподобны, то
$\displaystyle {\frac{BC}{AD}}$ = $\displaystyle {\frac{CO}{AO}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta BOC}}{S_{\Delta BOA}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.
ПоэтомуBC= 8, а
S$\scriptstyle \Delta$BDC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$S$\scriptstyle \Delta$ABD = 42$\displaystyle \sqrt{3}$.
Следовательно,
SABCD = S$\scriptstyle \Delta$ABD + S$\scriptstyle \Delta$BDC = 126$\displaystyle \sqrt{3}$.
Ответ

126$\sqrt{3}$.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет