Олимпиадная задача: треугольник ABC, точка O и отрезки AE и CD
Задача
В треугольнике ABC точка D делит сторону AB пополам, а точка E лежит на стороне BC, причём отрезок BE в 3 раза меньше стороны BC. Отрезки AE и CD пересекаются в точке O. Найдите AB, если известно, что AE = 5, OC = 4, а ∠AOC = 120°.
Решение
Проведём через точку C прямую, параллельную AB, и продолжим отрезок AE до пересечения с проведённой прямой в точке T. Из подобия треугольников CET и BEA следует, что CT = 2AB = 4AD.
Из подобия треугольников COT и DOA находим, что CO : OD = TO : OA = CT : AD = 4 : 1. Поэтому OD = ¼ CO = 1,
AO = 1/5 AT = 1/5 (AE + ET) = 3/5 AE = 3.
По теореме косинусов AD² = AO² + DO² – 2AO·DO cos∠AOD = 9 + 1 – 2·3·1·cos 60° = 7, AB = 2AD.
Ответ
2
.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет