Олимпиадная математическая задача о высотах треугольника
Нет ответа
Задача
Две высоты тругольника равны 10 и 6. Докажите, что третья высота меньше 15.
Решение
Обозначим стороны треугольника через a, b и c, а соответствующие высоты — ha, hb и hc. Пусть ha = 10, hb = 6. Докажем, что hc < 15.
Поскольку aha = bhb = chc, то
b = $\displaystyle {\frac{ah_{a}}{h_{b}}}$ = $\displaystyle {\frac{5a}{3}}$, hc = $\displaystyle {\frac{ah_{a}}{c}}$ = $\displaystyle {\frac{10a}{c}}$.
Стороны треугольника связаны неравенствомb-a<c, или${\frac{5a}{3}}$-a<c. Отсюда находим, что${\frac{a}{c}}$<${\frac{3}{2}}$.
Следовательно,
hc = $\displaystyle {\frac{10a}{c}}$ < 10 . $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ = 15.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет