Задание олимпиады по планиметрии: высоты BM и CN в треугольнике ABC
Задача
В треугольнике ABC проведены две высоты BM и CN, причём
AM : CM = 2 : 3. Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC, если острый угол BAC равен $\alpha$.
Решение
Пусть точка N находится на стороне AB. Треугольник MAN подобен треугольнику BAC с коэффициентом cos$\alpha$. Поэтому
S$\scriptstyle \Delta$MAN = S$\scriptstyle \Delta$ABC . cos2$\displaystyle \alpha$.
Следовательно,
S$\scriptstyle \Delta$BMN = S$\scriptstyle \Delta$BAM - S$\scriptstyle \Delta$MAN = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{5}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC - S$\scriptstyle \Delta$ABCcos2$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\cos ^{2} \alpha - \frac{2}{5}}\right.$cos2$\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{5}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\cos ^{2} \alpha - \frac{2}{5}}\right)$S$\scriptstyle \Delta$ABC.
Если точкаNрасположена на продолжении стороныABза точкуB, то аналогично получим, что
S$\scriptstyle \Delta$BMN = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2}{5} - \cos ^{2}\alpha}\right.$$\displaystyle {\textstyle\frac{2}{5}}$ - cos2$\displaystyle \alpha$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2}{5} - \cos ^{2}\alpha}\right)$S$\scriptstyle \Delta$ABC.
Ответ
$\left\vert\vphantom{\cos ^{2}\alpha - \frac{2}{5}}\right.$cos2$\alpha$ - ${\frac{2}{5}}$$\left.\vphantom{\cos ^{2}\alpha - \frac{2}{5}}\right\vert$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет