Олимпиадная задача по геометрии: трапеция ABCD с углами 30° и 60°
Задача
Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 3$\sqrt{39}$ и BC = $\sqrt{39}$. Кроме того дано, что угол BAD равен 30o, а угол ADC равен 60o. Через точку D проходит прямая, делящая трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите длину отрезка этой прямой, находящегося внутри трапеции.
Решение
Поскольку S$\scriptstyle \Delta$ABD = 3S$\scriptstyle \Delta$BCD, то указанная прямая пересекает отрезок AB. Пусть K — точка пересечения. Тогда
S$\scriptstyle \Delta$AKD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$SABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle {\frac{AD + BC}{2}}$h = h$\displaystyle \sqrt{39}$,
гдеh— высота трапецииABCD.
С другой стороны,
S$\scriptstyle \Delta$AKD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AD . h1 = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{39}\cdot h_{1}}{2}}$,
гдеh1— высота треугольникаAKD.
Поэтому${\frac{h_{1}}{h}}$=${\frac{2}{3}}$и${\frac{AK}{AB}}$=${\frac{2}{3}}$.
Проведём через вершину B прямую, параллельную стороне CD,
до пересечения с основанием AD в точке P. Тогда
AP = AD - DP = AD - BC = 2$\displaystyle \sqrt{39}$.
Из прямоугольного треугольникаABPнаходим, что
AB = AP cos 30o = 3$\displaystyle \sqrt{13}$.
ПоэтомуAK=${\frac{2}{3}}$AB= 2$\sqrt{13}$.
По теореме косинусов из треугольникаAKDнаходим:
DK2 = AK2 + AD2 - 2AK . AD cos 30o =
= 4 . 13 + 9 . 39 - 2 . 2$\displaystyle \sqrt{13}$ . 3$\displaystyle \sqrt{39}$ . $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 169.
Следовательно,DK= 13.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет