Олимпиадная задача по планиметрии: параллелограмм ABCD и точки E, F, P
Задача
A, B, C, D — последовательные вершины параллелограмма. Точки E, F, P, H лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, AD. Отрезок AE составляет ${\frac{1}{3}}$ стороны AB, отрезок BF составляет
${\frac{1}{3}}$ стороны BC, а точки P и H делят пополам стороны, на которых они лежат. Найдите отношение площади четырёхугольника EFPH к площади параллелограмма ABCD.
Решение
Пусть SABCD = S. Тогда
S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$S, S$\scriptstyle \Delta$BEF = $\displaystyle {\frac{BE}{AB}}$ . $\displaystyle {\frac{BF}{BC}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$S.
Аналогично
S$\scriptstyle \Delta$PDH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$S, S$\scriptstyle \Delta$FCP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$S, S$\scriptstyle \Delta$EAH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{12}}$S.
Следовательно,
SEFPH = S - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$S - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$S - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$S - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{12}}$S = $\displaystyle {\textstyle\frac{37}{72}}$S.
Ответ
${\frac{37}{72}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет