Задача по олимпиадной математике: высоты и биссектриса треугольника AB
Задача
В треугольнике ABC известны высоты: ha = ${\frac{1}{3}}$,
hb = ${\frac{1}{4}}$, hc = ${\frac{1}{5}}$. Найдите отношение биссектрисы CD к радиусу описанной окружности.
Решение
Обозначим BC = a, AC = b, AB = c. Поскольку площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту, То
a . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ = b . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ = c . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{5}}$,
откудаb=${\frac{4a}{3}}$иc=${\frac{5a}{3}}$. Обозначив${\frac{1}{3}}$a=m,
получим:
a = 3m, b = 4m, c = 5m.
ТреугольникABCпрямоугольный, т.к.
a2 + b2 = 9m2 + 16m2 = 25m2 = c2.
РадиусRего описанной окружности равен половине гипотенузы, т.е.
R = $\displaystyle {\frac{c}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{5m}{2}}$.
Обозначим CD = x. Тогда
S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ab, S$\scriptstyle \Delta$BCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ax sin 45o = $\displaystyle {\frac{ax\sqrt{2}}{4}}$, S$\scriptstyle \Delta$ACD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$bx sin 45o = $\displaystyle {\frac{bx\sqrt{2}}{4}}$,
а т.к.S$\scriptstyle \Delta$BCD+S$\scriptstyle \Delta$ACD=S$\scriptstyle \Delta$ABC, имеем уравнение
x(a + b)$\displaystyle \sqrt{2}$ = 2ab,
откуда находим, что
x = $\displaystyle {\frac{ab\sqrt{2}}{a + b}}$ = $\displaystyle {\frac{12m\sqrt{2}}{7}}$.
Следовательно,
$\displaystyle {\frac{CD}{R}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{12m\sqrt{2}}{7}}{\frac{5m}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{24\sqrt{2}}{35}}$.
Ответ
${\frac{24\sqrt{2}}{35}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет