Олимпиадная задача: высота, биссектриса и медиана в треугольнике KMN
Задача
В треугольнике KMN проведены высота NA, биссектриса NB и медиана NC, которые делят угол KNM на четыре равные части. Найдите длины высоты NA, биссектрисы NB и медианы NC, если радиус описанной около треугольника KMN окружности равен R.
Решение
Пусть лучи NA, NB и NC пересекают описанную окружность треугольника KMN в точках Q, P и S соответственно. Обозначим
$\displaystyle \angle$KNQ = $\displaystyle \angle$QNP = $\displaystyle \angle$PNS = $\displaystyle \angle$MNS = $\displaystyle \alpha$.
Из равенства дугKQиMS, не содержащих точкуN, следует
параллельность хордQSиKM, поэтому
$\displaystyle \angle$NQS = $\displaystyle \angle$NAM = 90o.
ПосколькуP— середина дугиKQM, тоPC— серединный перпендикуляр к
сторонеKMтреугольникаKMN, а т.к.P— середина дугиQS, тоPC-- серединный пeрпендикуляр к сторонеQSпрямоугольного треугольникаNQS.
Значит,C— центр окружности, описанной около прямоугольного треугольникаNQS. Таким образом, центр описанной окружности треугольникаKNMлежит на сторонеKM, поэтому треугольникKNMпрямоугольный, аKM= 2R—
его гипотенуза.
Из уравнения
4$\alpha$ = 90o находим, что
$\alpha$ = 22, 5o.
Следовательно,
$\displaystyle \angle$NKM = 90o - $\displaystyle \alpha$ = 67, 5o, $\displaystyle \angle$KMN = $\displaystyle \alpha$ = 22, 5o,
NC = R, KN = KM sin$\displaystyle \angle$KNN = 2R . sin$\displaystyle \alpha$,
NA = KN cos$\displaystyle \angle$ANK = 2R sin$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \alpha$ = R sin 2$\displaystyle \alpha$ = R sin 45o = $\displaystyle {\frac{R\sqrt{2}}{2}}$,
NB = $\displaystyle {\frac{NA}{\cos \angle ANB}}$ = $\displaystyle {\frac{NA}{\cos \alpha}}$ = R$\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{2}}$.
Ответ
${\frac{R\sqrt{2}}{2}}$, R$\sqrt{2-\sqrt{2}}$, R.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет