Олимпиадная задача по планиметрии: вписанная окружность в треугольник
Задача
В трапеции ABCD даны основания AD = 4, BC = 1 и углы A и D при основании, равные соответственно arctg 2 и arctg 3.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник CBE, где E – точка пересечения диагоналей трапеции.
Решение
Опустим перпендикуляры BM и CN на основание AD трапеции ABCD. Обозначим AM = x. Тогда DN = AD – MN – AM = 3 – x.
По условию BM = AM tg∠A = 2x, CN = DN tg∠D = 3(3 – x), а так как BM = CN, то 2x = 3(3 – x), откуда x = 9/5. Значит, AN = AM + MN = 14/5,
DM = 11/5.
По теореме Пифагора AC² = AC² = AN² + CN2 = (2,8)2 + (3,6)² = 0,16·130 = 104/5, BC² = DM² + BM² = (2,2)² + (3,6)² = 89/5.
Пусть EK – высота треугольника BEC. Поскольку треугольник BEC подобен треугольнику DEA с коэффициентом BC/AD = ¼, то EK = 1/5 BM = 18/25,
2SBEC = BC·EK = 18/25.
Радиус r вписанной окружности треугольника равен его удвоенной площади, делённой на периметр, следовательно, 
Ответ
.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь