Олимпиадная задача: окружность в прямоугольном треугольнике и точка M
Задача
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, касается гипотенузы в точке M. Найдите расстояние от точки M до вершины прямого угла.
Решение
Пусть окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается гипотенузы AB в точке M. Если AC = 6 и BC = 8, то
AB = $\displaystyle \sqrt{AC^{2} + BC^{2}}$ = 10, cos$\displaystyle \angle$A = $\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$.
Пустьp— полупериметр треугольникаABC. Тогда
AM = p - BC = 12 - 8 = 4.
По теореме косинусов из треугольникаAMCнаходим, что
CM2 = AC2 + AM2 - 2AC . AM cos$\displaystyle \angle$A = 36 + 16 - 2 . 6 . 4 . $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{116}{5}}$.
Следовательно,
CM = $\displaystyle \sqrt{\frac{116}{5}}$ = 2$\displaystyle \sqrt{\frac{29}{5}}$.
Ответ
2$\sqrt{\frac{29}{5}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет