Концентрические окружности и хорда — олимпиадная задача по планиметрии
Задача
Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 1:2. Хорда большей окружности делится меньшей окружностью на три равные части. Найдите отношение этой хорды к диаметру большей окружности.
Решение
Пусть хорда AD большей окружности с центром O пересекает меньшую окружность в точках B и C (B между A и C). Рассмотрим диаметр PQ большей окружности, проходящий через точку C (C между O и P). Обозначим OC = x, AB = BC = CD = a. Тогда
CD . AC = PC . CQ, или a . 2a = x . 3x,
откуда${\frac{a}{x}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$. Следовательно,
$\displaystyle {\frac{AD}{PQ}}$ = $\displaystyle {\frac{3a}{4x}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ . $\displaystyle {\frac{a}{x}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$$\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{6}}{8}}$.
Пусть хорда AD большей окружности с центром O пересекает
меньшую окружность в точках B и C (B между A и C). Рассмотрим
диаметр PQ большей окружности, проходящий через точку C (C между O
и P). Обозначим OC = x,
AB = BC = CD = a. Тогда
CD . AC = PC . CQ, или a . 2a = x . 3x,
откуда${\frac{a}{x}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$. Следовательно,
$\displaystyle {\frac{AD}{PQ}}$ = $\displaystyle {\frac{3a}{4x}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ . $\displaystyle {\frac{a}{x}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$$\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{6}}{8}}$.
Пусть хорда AD большей окружности с центром O пересекает
меньшую окружность в точках B и C (B между A и C). Рассмотрим
диаметр PQ большей окружности, проходящий через точку C (C между O
и P). Обозначим OC = x,
AB = BC = CD = a. Тогда
CD . AC = PC . CQ, или a . 2a = x . 3x,
откуда${\frac{a}{x}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$. Следовательно,
$\displaystyle {\frac{AD}{PQ}}$ = $\displaystyle {\frac{3a}{4x}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ . $\displaystyle {\frac{a}{x}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$$\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{6}}{8}}$.
Ответ
${\frac{3\sqrt{6}}{8}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет