Площадь трапеции ABCD через углы α и β — задача по олимпиадной математ
Задача
В трапеции ABCD стороны BC и AD параллельны, BC = a, AD = b,
$\angle$CAD = $\alpha$, $\angle$BAC = $\beta$. Найдите площадь трапеции.
Решение
В треугольнике ABC
$\displaystyle \angle$ABC = 180o - $\displaystyle \angle$BCA - $\displaystyle \angle$BAC = 180o - ($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$).
Из этого треугольника, по теореме синусов находим, что
AC = $\displaystyle {\frac{BC\sin (\alpha + \beta)}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sin (\alpha + \beta)}{\sin \beta}}$.
Через вершинуBпроведём прямую, параллельную диагоналиAC,
до пересечения с прямойADв точкеM. Тогда
SABCD = S$\scriptstyle \Delta$MBD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$MB . MD sin$\displaystyle \angle$BMD =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AC(MA + AD)sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{a(a + b)\sin \alpha \sin ( \alpha + \beta)}{2\sin \beta}}$.
Ответ
${\frac{a(a + b)\sin \alpha \sin (\alpha + \beta)}{2\sin \beta}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет