Олимпиадная задача по планиметрии: биссектриса и перпендикуляр в треуг
Задача
В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса прямого угла CL. Из вершины A ( $\angle$A > 45o) на CL опущен перпендикуляр AD. Найдите площадь треугольника ABC, если AD = a, CL = b.
Решение
Заметим, что AC = a$\sqrt{2}$. Обозначим BC = x. Поскольку S$\scriptstyle \Delta$ABC = S$\scriptstyle \Delta$ACL + S$\scriptstyle \Delta$BCL, то
$\displaystyle {\frac{ax\sqrt{2}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{ab\sqrt{2}}{2}}$ . $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{bx\sqrt{2}}{4}}$.
Отсюда находим, чтоx=${\frac{ab\sqrt{2}}{2(a-b)}}$.
Следовательно,
S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\frac{ax\sqrt{2}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}b}{2a - b}}$.
Ответ
${\frac{a^{2}b}{2a - b}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет