Олимпиадная задача по планиметрии: трапеция со сторонами 16, 44, 17 и
Задача
Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные — 17 и 25.
Решение
Через вершину C трапеции ABCD (BC = 16, AD = 44, AB = 17, CD = 25) проведём прямую, параллельную стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке K.
В треугольнике CKD
CK = 17, CD = 25, KD = AD - BC = 28.
По формуле Герона
S$\scriptstyle \Delta$CKD = $\displaystyle \sqrt{35\cdot 7\cdot 10\cdot 18}$ = 5 . 7 . 6 = 210.
ЕслиCM— высота этого треугольника, то
CM = $\displaystyle {\frac{2S_{\Delta CKD}}{KD}}$ = $\displaystyle {\frac{2\cdot 210}{28}}$ = 15.
Следовательно,
SABCD = $\displaystyle {\frac{AD + BC}{2}}$ . CM = 450.
Другие способы нахождения высоты CM треугольника CKD.
а) Обозначим DM = x и найдём x из уравнения
CD2 - DM2 = CK2 - KM2, или 252 - x2 = 172 - (28 - x)2.
Затем найдёмCMпо теореме Пифагора из треугольникаCMD.
б) Найдем косинус угла CDK по теореме косинусов из
треугольника CDK. Затем вычислим его синус и найдем CM из
прямоугольного треугольника CMD
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет