Олимпиадная задача по планиметрии о треугольнике ABC с точками P и Q

  Пусть F и H – точки пересечения медианы AM с отрезками BP и BQ соответственно. Поскольку  AH : HM = 2 : 1,  H – точка пересечения медиан треугольника ABC, то есть BQ – медиана.

  Проведём через точку H прямую, параллельную BP до пересечения со стороной AC в точке S. По теореме Фалеса  AP = PS = 2SQ.

  Пусть  AC = 20x,  тогда  AQ = 10x,  AP = 4x,  PQ = 6x.  Проведём высоту BG равнобедренного треугольника PQB. Тогда  AG = 7x,  CG = 13x.

  По теореме Пифагора  CG² – AG² = BC² – AB²,  то есть  120x² = 40.  Отсюда  x² = ¹/₃.