Задание по олимпиадной математике: сторона ромба по радиусу окружности

Пусть окружность радиуса r с центром O, вписанная в ромб ABCD с углом 30^o при вершине B, касается противоположных сторон BC и AD в точках M и N соответственно. Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD

Радиусы OM и ON перпендикулярны противоположным сторонам BC и AD ромба, значит точка O лежит на отрезке MN. Поэтому MN = OM + ON = 2r.

Из вершины A опустим перпендикуляр AH на BC. Тогда AH = MN = 2r. Из прямоугольного треугольника AHB находим, что

Пусть окружность радиуса r с центром O, вписанная в ромб ABCD с углом 30^o при вершине B, касается противоположных сторон BC и AD в точках M и N соответственно. Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD

Радиусы OM и ON перпендикулярны противоположным сторонам BC и AD ромба, значит точка O лежит на отрезке MN. Поэтому MN = OM + ON = 2r.

Из вершины A опустим перпендикуляр AH на BC. Тогда AH = MN = 2r. Из прямоугольного треугольника AHB находим, что

Пусть окружность радиуса r с центром O, вписанная в ромб ABCD с углом 30^o при вершине B, касается противоположных сторон BC и AD в точках M и N соответственно. Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD

Радиусы OM и ON перпендикулярны противоположным сторонам BC и AD ромба, значит точка O лежит на отрезке MN. Поэтому MN = OM + ON = 2r.

Из вершины A опустим перпендикуляр AH на BC. Тогда AH = MN = 2r. Из прямоугольного треугольника AHB находим, что

${\frac{2r}{\sin \alpha}}$.