Назад

Олимпиадная задача: площадь четырёхугольника ABCD по данным KLM

Задача 153525 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

Точки K, L, M делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AK : BK = CL : BL = CM : DM = 1 : 2. Радиус окружности, описанной около треугольника KLM, равен ${\frac{5}{2}}$, KL = 4, LM = 3. Какова площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что KM < KL?

Разделы:
Планиметрия
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
4
Решение

Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника KLM ( R = ${\frac{5}{2}}$), $\angle$KML = $\alpha$, $\angle$MKL = $\beta$. Тогда

sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{KL}{2R}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$, sin$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{LM}{2R}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$.
ПосколькуML<KL, то уголMKL— острый. Поэтому
cos$\displaystyle \angle$MKL = cos$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$, | cos$\displaystyle \alpha$| = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$.
Тогда
KM = 2R sin$\displaystyle \angle$KLM = 5 sin(180o - ($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$)) = 5 sin($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$) =
= 5(sin$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \beta$ + cos$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$) = $\displaystyle {\frac{16 \pm 9}{5}}$.
Еслиcos$\alpha$=${\frac{3}{5}}$, т.е. уголKML— острый, тоKM= 5 >KL. Поэтому
cos$\displaystyle \alpha$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ KM = $\displaystyle {\frac{16 - 9}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{5}}$.
Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Поскольку $\angle$BOC = $\angle$KLM, то
SABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AC . BD sin(180o - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$) =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AC . BD sin($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$) =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$KL . $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$LM . $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{25}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{189}{25}}$.
Ответ

${\frac{189}{25}}$.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет