Олимпиадная задача: углы ромба ABCD и перпендикуляр BE
Задача
В ромбе ABCD из вершины B на сторону AD опущен перпендикуляр BE. Найдите углы ромба, если 2$\sqrt{3}$CE = $\sqrt{7}$AC.
Решение
Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба. Положим AC = 2x, $\angle$BAD = $\alpha$. Тогда
AB = $\displaystyle {\frac{AO}{\cos \angle BAO}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{\cos \frac{\alpha}{2}}}$, AE = AB cos$\displaystyle \angle$BAE = $\displaystyle {\frac{x\cos \alpha}{\cos \frac{\alpha}{2}}}$, CE = $\displaystyle {\frac{AC\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}}$ = x$\displaystyle \sqrt{\frac{7}{3}}$.
По теореме косинусов изтреугольникаCAEнаходим, что
CE2 = AE2 + AC2 - 2AE . AC cos$\displaystyle \angle$CAE,
или
$\displaystyle {\frac{7x^{2}}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{x^{2}\cos ^{2}\alpha}{\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}}$ + 4x2 - 4x2cos$\displaystyle \alpha$$\displaystyle {\frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}$, $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{3}}$ = 4 + $\displaystyle {\frac{\cos ^{2}\alpha}{\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}}$ - 4 cos$\displaystyle \alpha$.
Применив формулу
cos2${\frac{\alpha}{2}}$ = ${\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$, после
упрощения получим уравнение
6 cos2$\displaystyle \alpha$ + 7 cos$\displaystyle \alpha$ - 5 = 0,
из которого находим, чтоcos$\alpha$=${\frac{1}{2}}$.
Следовательно,$\alpha$= 60o.
Ответ
60o, 120o.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет