Олимпиадная задача: радиус описанной окружности треугольника AMB
Задача
Точка O лежит на отрезке AB, причём AO = 13, OB = 7. С центром в точке O проведена окружность радиуса 5. Из A и B к ней проведены касательные, пересекающиеся в точке M, причём точки касания лежат по одну сторону от прямой AB. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника AMB.
Решение
Пусть C и D — точки касания данной окружности со сторонами соответственно AM и BM треугольника AMB. Обозначим $\angle$MAB = $\alpha$, $\angle$MBA = $\beta$.
Из прямоугольных треугольников ACO и DBO находим, что
sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{CO}{AO}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{13}}$, cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{13}}$,
sin$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{OD}{OB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$, cos$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{6}}{7}}$.
Тогда
sin$\displaystyle \angle$AMB = sin(180o - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$) = sin($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$) =
= sin$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \beta$ + sin$\displaystyle \beta$cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{10(6 + \sqrt{6})}{91}}$.
Следовательно, искомый радиус равен
$\displaystyle {\frac{AB}{2\sin \angle AMB}}$ = $\displaystyle {\frac{20}{2\cdot 10\cdot \frac{6 + \sqrt{6}}{91}}}$ = $\displaystyle {\frac{91(6 - \sqrt{6})}{30}}$.
Ответ
${\frac{91(6 - \sqrt{6})}{30}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет