Олимпиадная задача: равнобедренный треугольник ABC и вписанная окружно
Задача
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) сторона AC = 10. В угол ABC вписана окружность с диаметром 15 так, что она касается стороны AC в её середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение
Данная окружность не может быть вписанной в треугольник ABC, т.к. в этом случае её диаметр был бы меньше стороны AC.
Действительно, проведём через центр вписанной в треугольник ABC окружности прямую, параллельную AC. Отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, больше диаметра окружности, но меньше стороны AC.
Следовательно, данная окружность касается стороны AC в её середине M и продолжений сторон BA и BC треугольника ABC.
Пусть O — центр этой окружности, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Из прямоугольного треугольника OAQ находим, что AM2 = MQ . MO. Следовательно,
Ответ
${\frac{10}{3}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь