Олимпиадная задача по планиметрии: прямоугольный треугольник ABC
Задача
В треугольнике ABC угол C – прямой, AC : AB = 3 : 5. Окружность с центром на продолжении катета AC за точку C касается продолжения гипотенузы AB за точку B и пересекает катет BC в точке P, причём BP : PC = 1 : 4. Найдите отношение радиуса окружности к катету BC.
Решение
Положим AC = 3x, AB = 5x. Тогда BC = 4x, BP = 4x/5, PC = 16x/5.
Пусть Q – вторая точка пересечения прямой BC с указанной окружностью, O – центр этой окружности, M – точка касания с продолжением гипотенузы AB. Тогда BM² = BP·BQ = 144x²/25, AM = 5x + 12x/5 = 37x/5.
Из подобия треугольников AOM и ABC следует, что OM : BC = AM : AC = 37 : 15.
Ответ
37 : 15.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет